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  • 已知函数f（x）=lnx-ax2-x，a∈R．（1）若函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数y=f（x）的图象被点P（2，f（2））分成的两部分为c1，c2，（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，求证：当a=-18时，c1，c2分别???全位于直线l的两侧．（3）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=lnx-ax2-x，a∈R．
      （1）若函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数，求实数a的取值范围；
      （2）若函数y=f（x）的图象被点P（2，f（2））分成的两部分为c      1，c2，（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，求证：当a=-
      1
      8
      时，c1，c2分别???全位于直线l的两侧．
      （3）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意得，函数的定义域是（0，+∞）
      f′(x)=
      1
      x
      -2ax-1=-
      2ax2+x-1
      x
      (x＞0)，------------（2分）
      只需要2ax      2+x-1≤0，即2a≤
      1
      x2
      -
      1
      x
      =(
      1
      x
      -
      1
      2
      )2-
      1
      4
      ，
      解得，a≤-
      1
      8
      ．---------------------------------------（4分）
      （2）证明：把a=-
      1
      8
      代入得，数f（x）=lnx+
      1
      8
      x2-x，
      ∴f′(x)=
      1
      x
      +
      1
      4
      x-1，且f′（2）=0，f（2）=ln2-
      3
      2
      ，
      ∴切线l的方程为y=ln2-
      3
      2
      ．--------------------------------------------（6分）
      令g(x)=lnx+
      1
      8
      x2-x-(ln2-
      3
      2
      )，则g（2）=0．
      ∵g′(x)=
      1
      x
      +
      1
      4
      x-1=
      (
      x
      2
      -1)2
      x
      ≥0，---------------------------------（8分）
      ∴g（x）是单调增函数，
      当x∈（2，+∞）时，g（x）＞g（2）=0；
      当x∈（0，2）时，g（x）＜g（2）=0，
      ∴c      1，c2分别完全位于直线l的两侧．--------------------------（10分）
      （3）设切点P（x      0，f（x0）），由函数的定义域知x0＞0，
      则曲线y=f（x）在点P处的切线为l：y=f′（x      0）（x-x0）+f（x0），
      令g（x）=f（x）-[f′（x      0）（x-x0）+f（x0）]，
      ∵切点P在切线l上，也在曲线上，∴g（x      0）=0，
      ∵g′（x）=f′（x）-f′（x      0），f′(x)=
      1
      x
      -2ax-1（x＞0），
      ∴g′(x)=
      1
      x
      -2ax-(
      1
      x0
      -2ax0)，
      则g′(x)=-
      (x-x0)(2ax0x+1)
      x0x
      ，且g′（x0）=0，
      ①当a≥0时，?x∈（0，x      0），g'（x）＞0；?x∈（x0+∞），g'（x）＜0，
      ∴g（x）在（0，x      0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
      ∴g（x）=0只有唯一解x      0，而x0是任意选取的值，故不满足题意；----（12分）
      ②当a＜0时，g″(x)=f″(x)=-
      1
      x2
      -2a，记g″(m)=-
      1
      m2
      -2a=0，则m=
      √-
      1
      2a
      ．
      （i）若x      0=m，则g'（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
      g'（x）≥g'（x      0）=0，
      ∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）=0只有唯一解x=
      √-
      1
      2a
      ，
      （ii）若x      0＜m，则?（0，m），g''（x）＜0；?（m，+∞），g''（x）＞0，
      ∴g'（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增
      此时存在x      1∈（m，+∞），使得g'（x1）=0，
      ∴?（0，x      0）∪（x1，+∞），g'（x）＞0；?（x0，x1），g'（x1）＜0，
      ∴g'（x）在（0，x      0）和（x1，+∞）上单调递增，在（x0，x1）上单调递减，
      此时存在x      2∈（x1，+∞），使得g（x2）=0，∴g（x）有两个零点．
      （iii）若x      0＞m，
      则?（0，m），g''（x）＜0；?（m，+∞），g''（x）＞0，
      ∴g'（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增
      此时存在x      1∈（0，m），使得g'（x1）=0，
      ∴?（0，x      1）∪（x0，+∞），g'（x）＞0；?（x1，x0），g'（x1）＜0，
      ∴g'（x）在（0，x      1）和（x0，+∞）上单调递增，在（x1，x0）上单调递减
      此时存在x      2∈（0，x1），使得g（x2）=0，∴g（x）有两个零点．
      综上所述，当a＜0时，曲线y=f（x）上存在唯一的点P(
      √-
      1
      2a
      ，f(
      √-
      1
      2a
      ))，
      曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．----------------------------（16分）
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