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  • 已知f（x）=x3+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是f（x）的导函数．（1）对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；（2）设直线3x+y+1=0是函数y=f（x）图象的一条切线，求函数y=f（x）的单调区间．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）=x3+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是f（x）的导函数．
      （1）对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；
      （2）设直线3x+y+1=0是函数y=f（x）图象的一条切线，求函数y=f（x）的单调区间．

      试题解答

      见解析
      解：f'（x）=3x2+3a，g（x）=3x2-ax+（3a-5），
      （1）由g（x）＜0得3x      2-ax+（3a-5）＜0，即（3-x）a+3x2-5＜0在a∈[-1，1]恒成立，
      则
      {
      (3-x)×(-1)+3x2-5＜0
      (3-x)×1+3x2-5＜0
      ，即
      {
      3x2+x-8＜0
      3x2-x-2＜0
      ，即
      {
      -
      1+
      √97
      6
      ＜x＜-
      1-
      √97
      6
      -
      2
      3
      ＜x＜1
      ，
      所以实数x的取值范围是(-
      2
      3
      ，1)．----（6分）
      （2）设切点为（x      1，y1），则
      {
      y1=x13+3ax1-1
      3x1+y1+1=0
      ，得到x13+3ax1-1=-3x1-1，
      得到x      1=0或x12=-3a-3．
      又切线的斜率k=f'（x      1）=-3，即3x12+3a=-3．
      ①若x      1=0，则a=-1
      ②若x      12=-3a-3，则3×（-3a-3）+3a=-3，则a=-1．
      综上所述，a=-1，所以f（x）=x      3-3x-1，则f'（x）=3x2-3．
      若f'（x）＞0，则x＜-1或x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）．
      若f'（x）＜0，则-1＜x＜1，即f（x）的单调递减区间为（-1，1）．----（12分）
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