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  • 已知函数f（x）=x3+ax+b满足f（0）=f（1），又P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是其图象上不同两点．（1）求证：曲线y=f（x）关于点（0，b）中心对称．（2）设0≤x1＜x2，证明存在x0∈（x1，x2），使y=f（x）在点R（x0，f（x0））处的切线平行于PQ，用x1，x2表示x0，并说明x0在区间（x1，x2）中点M的左侧还是右侧．（3）设0≤x1＜x2≤1，求证：|f（x1）-f（x2）|＜1．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x3+ax+b满足f（0）=f（1），又P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是其图象上不同两点．
      （1）求证：曲线y=f（x）关于点（0，b）中心对称．
      （2）设0≤x      1＜x2，证明存在x0∈（x1，x2），使y=f（x）在点R（x0，f（x0））处的切线平行于PQ，用x1，x2表示x0，并说明x0在区间（x1，x2）中点M的左侧还是右侧．
      （3）设0≤x      1＜x2≤1，求证：|f（x1）-f（x2）|＜1．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）∵函数f（x）=x3+ax+b满足f（0）=f（1），
      ∴b=1+a+b，故a=-1，从而f（x）=x      3-x+b．（1分）
      设（x      0，y0）是曲线y=f（x）上任意一点，则y0=f（x0）=x03-x0+b，从而2b-y0=-x03+x0+b=f（-x0），
      故点（x      0，y0）关于（0，b）的对称点（-x0，2b-y0）也在y=f（x）上，
      再由（x      0，y0）的任意性知y=f（x）的图象关于（0，b）中心对称．（4分）
      （2）y=f（x）在R点处的切线斜率为f′（x      0）=3x02-1，
      又      kPQ=
      f(x1)-f(x2)
      x1-x2
      =x12+x1x2+x22-1，
      由0≤x      1＜x2，令f′（x0）=kPQ，得x0=
      √
      x
      2
      1
      +x1x2+x
      2
      2
      3
      ∈（x1，x2），
      从而存在x      0∈（x1，x2），使y=f（x）在R（x0，f（x0））处的切线平行于直线PQ．（7分）
      又x      12+x1x2+x22=
      3
      4
      (x1+x2)2+
      1
      4
      (x1-x2)2＞
      3
      4
      (x1+x2)2，
      故x      0＞
      x1+x2
      2
      ，即x0在区间（x1，x2）中点的右侧．（9分）
      （3）由（2）知当0≤x      1＜x2≤1时，存在x0∈（x1，x2）使PQ的斜率k=f′（x0）=3x02-1，
      再由x      0∈（x1，x2）知x0∈（0，1），从而3x02-1∈（-1，2），于是|k|＜2．（11分）
      从而对任何s，t∈[0，1]，s≠t，有|f（s）-f（t）|=k|s-t|＜2|s-t|．
      当0≤x      1＜x2≤1且|x1-x2|≤
      1
      2
      时，|f（x1）-f（x2）|＜2|x1-x2|＜1；
      当|x      1-x2|＞
      1
      2
      时，由0≤x1＜x2≤1知0≤x1＜
      1
      2
      ＜x2≤1，
      从而|f（x      1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|≤|f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|
      ＜2（|x      1-0|+|1-x2|）＜2（x1+1-x2）=2-2（x2-x1）＜1．（14分）
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