已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0．（1）求a取值范围；（2）设g（x）=f（x）-f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0．
（1）求a取值范围；
（2）设g（x）=f（x）-f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

试题解答

见解析

解：（1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=-1，则f（x）=[ax²-（a+1）x+1]e^x，
∴f′（x）=[ax²+（a-1）x-a]e^x，
由题意函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上单调递减可得对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）＜0
当a＞0时，因为二次函数y=ax²+（a-1）x-a图象开口向上，而f′（0）=-a＜0，所以只需要f′（1）=（a-1）e＜0，即a＜1，故有0＜a＜1；
当a=1时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x²-1）e^x＜0，函数符合条件；
当a=0时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=-xe^x＜0，函数符合条件；
当a＜0时，因f′（0）=-a＞0函数不符合条件；
综上知，a的取值范围是0≤a≤1
（2）因为 g（x）=f（x）-f′（x）=（ax²-（a+1）x+1）e^x-[ax²+（a-1）x-a]e^x=（-2ax+a+1）e^x，g′（x）=（-2ax-a+1）e^x，
（i）当a=0时，g′（x）=e^x＞0，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1，最大值是g（1）=e
（ii）当a=1时，对于任意x∈（0，1）有g′（x）=-2xe^x＜0，则有g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=0，最大值是g（0）=2；
（iii）当0＜a＜1时，由g′（x）=0得x=

1-a

＞0，
①若

1-a

≥1，即0＜a≤

时，g（x）在[0，1]上是增函数，所以g（x）在[0，1]上最大值是g（1）=（1-a）e，最小值是g（0）=1+a；
②若

1-a

＜1，即

＜a＜1时，g（x）在x=

1-a

取得最大值g（

1-a

）=2ae^1-a
2a，在x=0或x=1时取到最小值，
而g（0）=1+a，g（1）=（1-a）e，
则令g（0）=1+a≤g（1）=（1-a）e可得

＜a≤

e-1

e+1

；令g（0）=1+a≥g（1）=（1-a）e可得

e-1

e+1

≤a＜1
综上，当

＜a≤

e-1

e+1

时，g（x）在x=0取到最小值g（0）=1+a，
当

e-1

e+1

≤a＜1时，g（x）在x=1取到最小值g（1）=（1-a）e

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选修2-2 北师大版解答题高中数学

已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0．（1）求a取值范围；（2）设g（x）=f（x）-f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．试题及答案-解答题-云返教育

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