试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+1x2（a为实数）．（Ⅰ）求当x∈（0，1]时，f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值-6．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+
      1
      x2
      （a为实数）．
      （Ⅰ）求当x∈（0，1]时，f（x）的解析式；
      （Ⅱ）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
      （Ⅲ）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值-6．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，
      当x∈[-1，0）时，f(x)=2ax+
      1
      x2
      （a为实数）．
      ∴当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0）．
      f(x)=-f(-x)=-(-2ax+
      1
      x2
      )=2ax-
      1
      x2
      …（3分）
      （II）∵x∈（0，1]时，f(x)=2ax-
      1
      x2
      ，
      ∴f′(x)=2a+
      2
      x3
      ，
      因为f（x）在（0，1]上是增函数，
      所以f'（x）≥0在（0，1]上恒成立，
      即a≥-
      1
      x3
      在（0，1]上恒成立，
      令g(x)=-
      1
      x3
      ，x∈(0，1]，
      g（x）在（0，1]上是单调增函数，
      所以[g（x）]      max=g（1）=-1，
      所以a≥-1．…（8分）
      （Ⅲ）①当a≥-1时，
      由（II）知f（x）在（0，1]上是增函数，
      所以[f（x）]      max=f（1）=-6，
      解得a=-
      5
      2
      ，与a≥-1矛盾．…（10分）
      ②当a＜-1时，
      令f'（x）=0，x=
      3√-
      1
      a
      ∈(0，1]，
      当x∈(0，
      3√-
      1
      a
      )时，
      f′(x)=2(a+
      1
      x3
      )＞0，f（x）是增函数，
      当x∈(
      3√-
      1
      a
      ，1 )时，
      f′(x)=2(a+
      1
      x3
      )＜0，f（x）是减函数．
      所以[f(x)]      max=f(
      3√-
      1
      a
      )=-6，
      即2a
      3√-
      1
      a
      -
      1
      (
      3√-
      1
      a
      )2
      =-6，
      解得
      3√-
      1
      a
      =
      √2
      2
      ，a=-2
      √2
      ．
      综上，存在a=-2
      √2
      ，
      使得当x∈（0，1]时，
      f（x）有最大值-6．…（14分）
      标签
      选修2-2北师大版解答题高中数学

    利用导数求闭区间上函数的最值相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn