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  • 函数f（x）=x|x|+x3+2在[-2013，2013]上的最大值与最小值之和为 ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）=x|x|+x3+2在[-2013，2013]上的最大值与最小值之和为          ．

      试题解答

      4
      解：函数f（x）=x|x|+x3+2=
      {
      x3+x2+2 (x≥0)
      x3-x2+2 (x＜0)
      ，
      ∴当x≥0时，f（x）=x      3+x2+2，f′（x）=3x2+2x；
      令f′（x）=0，即3x      2+2x=0，解得x=0或x=-
      2
      3
      ；
      ∴当x≥0时，f′（x）≥0恒成立，
      ∴f（x）在[0，2013]上的最大值是f（2013）=2013      3+20132+2，最小值是f（0）=2；
      当x＜0时，f（x）=x      3-x2+2，f′（x）=3x2-2x；
      令f′（x）=0，即3x      2-2x=0，解得x=0或x=
      2
      3
      ；
      ∴当x＜0时，f′（x）＞0恒成立，
      ∴f（x）[-2013，0）上的最小值是f（-2013）=（-2013）      3-（-2013）2+2=-20133-20132+2，且f（x）＜f（0）=2；
      ∴f（x）在[-2013，2013]上的最大值是f（2013），最小值是f（-2013），
      ∴最大值与最小值之和为f（2013）+f（-2013）=（2013      3+20132+2）+（-20133-20132+2）=4；
      故答案为：4．
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