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  • 已知函数f（x）=ax-lnx，g(x)=lnxx，它们的定义域都是（0，e]，其中e≈2.718，a∈R（ I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（ II）当a=1时，对任意x1，x2∈（0，e]，求证：f(x1)＞g(x2)+1727（ III）令h（x）=f（x）-g（x）?x，问是否存在实数a使得h（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax-lnx，g(x)=
      lnx
      x
      ，它们的定义域都是（0，e]，其中e≈2.718，a∈R
      （ I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
      （ II）当a=1时，对任意x      1，x2∈（0，e]，求证：f(x1)＞g(x2)+
      17
      27

      （ III）令h（x）=f（x）-g（x）?x，问是否存在实数a使得h（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（ I） 当a=1时，f（x）=x-lnx，x∈（0，e]
      ∴f′(x)=1-
      1
      x
      =
      x-1
      x

      令f'（x）＞0∴1＜x＜e令f'（x）＜0∴0＜x＜1
      ∴f（x）的单调增区间为（1，e），减区间为（0，1）
      （ II）由（ I）知f（x）在（0，e]的最小值为f（1）=1
      又g′(x)=
      1-lnx
      x2
      g'（x）≥0在区间（0，e]上成立
      ∴g（x）在（0，e]单调递增，故g（x）在区间（0，e]上有最大值g(e)=
      1
      e

      要证对任意x      1，x2∈（0，e]，f(x1)＞g(x2)+
      17
      27

      即证f(x      1)min＞g(x2)max+
      17
      27

      即证1＞
      1
      e
      +
      17
      27
      ，即证e＞2.7
      故命题成立
      （ III）h（x）=f（x）-g（x）?x=ax-2lnx，x∈（0，e]
      ∴h′(x)=a-
      2
      x
      =
      ax-2
      x

      （1）当a=0时，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，e]单调递减，
      故h（x）的最小值为h（e）=-2，舍去
      （2）当a＞0时，由h'（x）＜0，得0＜x＜
      2
      a

      ①当0＜a≤
      2
      e
      时，
      2
      a
      ≥e，
      ∴h（x）在（0，e]单调递减，故h（x）的最小值为h（e）=ae-2=3，
      ∴a=
      5
      e
      ＞
      2
      e
      ，舍去
      ②当a＞
      2
      e
      时，
      2
      a
      ＜e，
      ∴h（x）在(0，
      2
      a
      ]单调递减，在(
      2
      a
      ，e)单调递增，
      故h（x）的最小值为h(
      2
      a
      )=2-2ln
      2
      a
      =3，a=2
      √e
      ，满足要求
      （3）当a＜0时，h'（x）＜0在（0，e]上成立，
      ∴h（x）在（0，e]单调递减，故h（x）的最小值为h（e）=ae-2=3∴a=
      5
      e
      ＞
      2
      e
      ，舍去
      综合上述，满足要求的实数a=2
      √e
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