设函数f（x）=（x2+ax-2a-3）x（1）求f（x）的单调区间；（2）设a＞0，g（x）=（a2+8）x+30，确定f（x）与g（x）在[0，3]上值域；（3）若存在x1，x2∈[0，3]，使得|f（x1）-g（x2）|＜3成立，求a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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设函数f（x）=（x²+ax-2a-3）x
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，g（x）=（a²+8）x+30，确定f（x）与g（x）在[0，3]上值域；
（3）若存在x₁，x₂∈[0，3]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立，求a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵函数f（x）=（x²+ax-2a-3）x=x³+ax²-2ax-3x，
∴f′（x）=3x²+2ax-2a-3=（x-1）（3x+2a+3），
令f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）=0，得x=1，x=-

2a+3

．
当a=-3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；
当a＜-3时，由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）＞0，
得x＞-

2a+3

，或x＜1，
由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）＜0，得1＜x＜-

2a+3

，
∴f（x）在[1，-

2a+3

]上单调递减，
在（-∞，1），（-

2a+3

，+∞）上单调递增；
当a＞-3时，由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）＞0，
得x＜-

2a+3

，或x＞1，
由f′（x）=（x-1）（3x+2a+3）＜0，得-

2a+3

＜x＜1，
∴f（x）在[-

2a+3

，1]上单调递减，
在（-∞，-

2a+3

），（1，+∞）上单调递增；
（2）∵a＞0，g（x）=（a²+8）x+30，
∴g′（x）=a²+8＞0，
∴g（x）=（a²+8）x+30在[0，3]上是增函数，
∴g（x）=（a²+8）x+30在[0，3]上值域为G=[30，3（a²+8）+30]，
当a＞0时，f（x）在[0，1]单调递减，在[1，3]单调递增，
于是f（x）在x=1处取得最小值-a-2，
在x=3处取得最大值3a+18，f（x）的值域是F=[-a-2，3a+18]．
（3）由（2）知，若F∩G≠?，则一定存在x₁，x₂∈[0，3]，
使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立；
F∩G=?，则只要|f_max（x）-g_min（x）|＜3或|g_max（x）-f_min（x）|＜3，
由于-a-2＜3a+18＜30≤3（a²+8）+30，
解得a＞3．

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选修2-2 北师大版解答题高中数学

设函数f（x）=（x2+ax-2a-3）x（1）求f（x）的单调区间；（2）设a＞0，g（x）=（a2+8）x+30，确定f（x）与g（x）在[0，3]上值域；（3）若存在x1，x2∈[0，3]，使得|f（x1）-g（x2）|＜3成立，求a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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