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  • 设a为实数，函数f（x）=x|x2-a|．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；（2）求函数f（x）的单调区间．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设a为实数，函数f（x）=x|x2-a|．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；（2）求函数f（x）的单调区间．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=1时，f（x）=x|x2-1|．
      ∵x∈[-1，1]，∴f（x）=-x      3+x，
      则f′（x）=-3x      2+1=-3（x-
      √3
      3
      ）（x+
      √3
      3
      ），
      令f′（x）=0，得x=
      √3
      3
      ，x=-
      √3
      3
      ，
      ∵±
      √3
      3
      ∈[-1，1]，
      f（-1）=1-1=0，
      f（-
      √3
      3
      ）=-（-
      √3
      3
      ）3-
      √3
      3
      =-
      2
      √3
      9
      ，
      f（
      √3
      3
      ）=(
      √3
      3
      )3-
      √3
      3
      =
      2
      √3
      9
      ，
      f（1）=-1+1=0，
      ∴函数f（x）在x∈[-1，1]上的最小值为-
      2
      √3
      9
      ，最大值为
      2
      √3
      9
      ．
      （2）（i）当a=0时，f（x）=x      3，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）．
      （ii）当a＜0时，f（x）=x      3-ax，
      ∵f′（x）=3x      2-a＞0恒成立，
      ∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
      ∴f（x）的增区间为（-∞，+∞）．
      （iii）当a＞0时，①当x≥
      √a
      或x≤-
      √a
      时，f（x）=x3-ax，
      因为f′（x）=3x      2-a=3（x+
      √
      a
      3
      ）（x-
      √
      a
      3
      ），-
      √
      a
      3
      ＞-
      √a
      ，
      √
      a
      3
      ＜
      √a
      ，
      所以，当x≤-
      √a
      或x≥
      √a
      时，f′（x）＞0，
      从而f（x）的单调增区间为(-∞，-
      √a
      )及(
      √a
      ，+∞)．
      ②当-
      √a
      ＜x＜
      √a
      时，f（x）=-x3+ax，
      f′（x）=-3x      2+a=-3(x+
      √
      a
      3
      )(x-
      √
      a
      3
      )，
      令f′（x）=0，得x=
      √
      a
      3
      ，x=-
      √
      a
      3
      ，
      列表，得
      x （-
      √a
      ，-
      √
      a
      3
      ）       		-
      √a
      3
      （-
      √
      a
      3
      ，
      √
      a
      3
      ）
      √
      a
      3
      		 （
      √
      a
      3
      ，
      √a
      ）
      f′（x） - 0 + 0 -
      f（x） ↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓
      ∴f（x）的单调增区间为（-
      √
      a
      3
      ，
      √
      a
      3
      ），f（x）的单调减区间为(-
      √a
      ，-
      √
      a
      3
      )，(
      √
      a
      3
      ，
      √a
      )．
      综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
      当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为(-∞，-
      √a
      )，(
      √a
      ，+∞)及(-
      √
      a
      3
      ，
      √
      a
      3
      )，
      f（x）的单调减区间为(-
      √a
      ，-
      √
      a
      3
      )，(
      √
      a
      3
      ，
      √a
      )．
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