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  • 已知函数f（x）=|x-a|-lnx（a∈R）（I）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；（II）若a∈R，试讨论f（x）的单调区间；（III）若n∈N+，求证：1+12+13+…+1n＞12ln(n+1)(n+2)2．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=|x-a|-lnx（a∈R）
      （I）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；
      （II）若a∈R，试讨论f（x）的单调区间；
      （III）若n∈N      +，求证：1+
      1
      2
      +
      1
      3
      +…+
      1
      n
      ＞
      1
      2
      ln
      (n+1)(n+2)
      2
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（I）f（x）=|x-a|-lnx的定义域为（0，+∞）．
      a=1，f（x）=|x-1|-lnx，
      当x≥1时，f（x）=x-1-lnx，
      f′(x)=1-
      1
      x
      =
      x-1
      x
      ≥0，
      ∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增函数，
      当0＜x＜1时，f（x）=1-x-lnx，
      f′(x)=-1-
      1
      x
      ＜0，
      ∴f（x）在区间（0，1）上是递减函数，
      故a=1时，f（x）的增区间为[1，+∞），减区间为（0，1），
      f（x）      min=f（1）=0．
      （II）若a≥1时，当x≥a时，f（x）=x-a-lnx，      f′(x)=1-
      1
      x
      =
      x-1
      x
      ≥0，
      则f（x）在区间[a，+∞）上是递增的；
      当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，      f′(x)=-1-
      1
      x
      ＜0，
      ∴f（x）在区间（0，a）上是递减的，
      若0＜a＜1，当x≥a时，f（x）=x-a-lnx，
      f′(x)=1-
      1
      x
      =
      x-1
      x
      ，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0，
      则f（x）在区间[1，+∞）上是递增的，f（x）在区间[a，1）上是递减的．
      当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，      f′(x)=-1-
      1
      x
      ＜0，
      f（x）在区间（0，a）上是递减的，
      而f（x）在x=a处连续，
      则f（x）在区间[1，+∞）上是递增的，在区间（0，1）上是递减的，
      若a≤0，f（x）=x-lnx，      f′(x)=1-
      1
      x
      =
      x-1
      x
      ，x＞1，f′（x）＞0，0＜x＜1，f′（x）＜0，
      则f（x）在区间[1，+∞）上是递增的，f（x）在区间（0，1）上是递减的．
      综上所述，
      当a≥1时，
      a≤0，f（x）=x-lnx，
      f（x）的增区间是[a，+∞），减区间是（0，a）．
      当a＜1时，f（x）的递增区间是{1，+∞），减区间是（0，1）．
      （III）由（I）知：a=1
      f（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增．
      ∴x＞1时，f（x）=x-1-lnx＞f（1）=0，
      即x-1＞lnx在x＞1时成立．
      若n∈N      *，n＞1，则令x=
      n+1
      n-1
      ＞1，
      则
      n+1
      n-1
      -1＞ln
      n+1
      n-1
      ，
      即
      2
      n-1
      ＞ln
      n+1
      n-1
      ，
      ∴
      2
      2-1
      +
      2
      3-1
      +…+
      2
      n

      ＞ln
      2+1
      2-1
      +ln
      3+1
      3-1
      +…+ln
      n+2
      n

      =ln
      n+2
      2n
      ，
      ∴n∈N      *，n＞1时，1+
      1
      2
      +
      1
      3
      +…+
      1
      n
      ＞
      1
      2
      ln
      (n+1)(n+2)
      2
      ，
      ∵n=1时，不等式即为1＞
      1
      2
      ln3=ln
      √3
      成立，
      故n∈N      *时，1+
      1
      2
      +
      1
      3
      +…+
      1
      n
      ＞
      1
      2
      ln
      (n+1)(n+2)
      2
      ．
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