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  • 已知函数f（x）=x3+ax2-x+c，且a=f′(23)．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）设函数g（x）=（f（x）-x3）?ex，若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x3+ax2-x+c，且a=f′(
      2
      3
      )．
      （Ⅰ）求a的值；
      （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
      （Ⅲ）设函数g（x）=（f（x）-x      3）?ex，若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由f（x）=x3+ax2-x+c，得f'（x）=3x2+2ax-1．
      当x=
      2
      3
      时，得a=f ′(
      2
      3
      )=3×(
      2
      3
      )2+2f ′(
      2
      3
      )×(
      2
      3
      )-1，
      解之，得a=-1．…（4分）
      （Ⅱ）因为f（x）=x      3-x2-x+c．
      从而f ′(x)=3x      2-2x-1=3(x+
      1
      3
      )(x-1)，
      由f ′(x)=3x      2-2x-1=3(x+
      1
      3
      )(x-1)=0，得x1=-
      1
      3
      ，x2=1，
      列表如下：
      x (-∞，-
      1
      3
      )       		-
      1
      3
      		(-
      1
      3
      ，1)       		1 （1，+∞）
      f'（x） + 0 - 0 +
      f（x） ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗
      所以f（x）的单调递增区间是(-∞ ， -
      1
      3
      )和（1，+∞）；
      f（x）的单调递减区间是(-
      1
      3
      ， 1)．…（9分）
      （Ⅲ）函数g（x）=（f（x）-x      3）?ex=（-x2-x+c）?ex，
      有g'（x）=（-2x-1）e      x+（-x2-x+c）ex=（-x2-3x+c-1）ex，
      因为函数在区间x∈[-3，2]上单调递增，
      等价于h（x）=-x      2-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
      只要h（2）≥0，解得c≥11，
      所以c的取值范围是c≥11．…（14分）
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