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  • 已知函数f（x）满足对于?x∈R，均有f（x）+2f（-x）=ax+2（1a）x+xlna（a＞1成立．（1）求f（x）的解析式．（2）求f（x）的最小值．（3）证明：（1n）n+（2n）n+…+（nn）n＜ee-1（n∈N*）．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）满足对于?x∈R，均有f（x）+2f（-x）=ax+2（
      1
      a
      ）x+xlna（a＞1成立．
      （1）求f（x）的解析式．
      （2）求f（x）的最小值．
      （3）证明：（
      1
      n
      ）n+（
      2
      n
      ）n+…+（
      n
      n
      ）n＜
      e
      e-1
      （n∈N*）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意得：
      {
      f(x)+2f(-x)=ax+2(
      1
      a
      )x+xlna
      f(-x)+2f(x)=(
      1
      a
      )x+2ax-xlna
      ，
      解之得：f（x）=a      x-xlna
      （2）∵f′（x）=a      xlna-lna=（ax-1）lna，
      当x＞0时：f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；
      当x＜0时：f′（x）＜0，f（x）在（-∞，0）上递减；
      ∴f（x）      min=f （0）=1．
      （3）由（2）得：a      x-xlna≥1恒成立，令a=e，则ex≥x+1，
      在e      x≥x+1中，令x=-
      k
      n
      （k=1，2，…n-1）
      ∴1-
      k
      n
      ≤e-
      k
      n

      ∴      (1-
      k
      n
      )n≤e-k
      ∴（1-
      1
      n
      ）n≤e-1 （1-
      2
      n
      ）n≤e-2…（1-
      n-1
      n
      ）n≤e-（n-1），（
      n
      n
      ）n=1
      ∴（
      n
      n
      ）n+（
      n-1
      n
      ）n+（
      n-2
      n
      ）n+…+（
      1
      n
      ）n≤1+e-1+e-2+…+e-（n-1）
      =
      1-(
      1
      e
      )n
      1-
      1
      e
      =
      e[1-(
      1
      e
      )n]
      e-1
      ＜
      e
      e-1
      ．
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