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  • 若不等式x2+2xy≤a（2x2+y2）对于一切正数x、y恒成立，则实数a的最小值为（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      若不等式x2+2xy≤a（2x2+y2）对于一切正数x、y恒成立，则实数a的最小值为（　　）

      试题解答

      D
      解：由题意可得：不等式x2+2xy≤a（2x2+y2）对于一切正数x，y恒成立，
      即不等式（2a-1）x      2-2xy+ay2≥0对于一切正数x，y恒成立，
      即不等式（2a-1）（
      x
      y
      ）2-2?
      x
      y
      +a≥0对于一切正数x，y恒成立，
      令t=
      x
      y
      ，则有t＞0，所以（2a-1）t2-2t+a≥0对于一切t∈（0，+∞）恒成立，
      ∴a≥
      t2+2t
      2t2+1
      对于一切t∈（0，+∞）恒成立，
      令f（t）=
      t2+2t
      2t2+1
      ，则f′（t）=
      -2(t-1)(2t+1)
      (2t2+1)2

      ∴t∈（0，1）时，f′（t）＞0，函数单调递增，t∈（1，+∞）时，f′（t）＜0，函数单调递减
      ∴t=1时，函数取得最大值1
      ∴a≥1
      ∴实数a的最小值为1
      故选D
      标签
      选修2-2北师大版单选题高中数学

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