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  • 已知f（x）=xlnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）=xlnx
      （1）求函数f（x）的单调区间；
      （2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
      令f′（x）＜0，解得0＜x＜
      1
      e
      ，令f′（x）＞0，解得x＞
      1
      e
      ，
      所以f（x）的单调减区间为（0，
      1
      e
      ），单调增区间为（
      1
      e
      ，+∞）；
      （2）由（1）知f（x）的单调减区间为（0，
      1
      e
      ），单调增区间为（
      1
      e
      ，+∞），
      则（ⅰ）当0＜t＜t+2＜
      1
      e
      时，t无解；
      （ⅱ）当0＜t＜
      1
      e
      ＜t+2，即0＜t＜
      1
      e
      时，
      f（x）在[t，
      1
      e
      ]上递减，在[
      1
      e
      ，t+2]上递增，
      所以f（x???      min=f（
      1
      e
      ）=-
      1
      e
      ；
      （ⅲ）当
      1
      e
      ≤t＜t+2，即t≥
      1
      e
      时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
      所以f（x）      min=f（t）=tlnt，
      所以f(x)      min=
      {
      -
      1
      e
      ，0＜t＜
      1
      e
      tlnt，t≥
      1
      e
      ．
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