• 已知函数y=f(x)是R上的可导函数,当x≠0时,有f′(x)+f(x)x>0,则函数F(x)=xf(x)+1x的零点个数是( )试题及答案-单选题-云返教育

    • 试题详情

      已知函数y=f(x)是R上的可导函数,当x≠0时,有f′(x)+
      f(x)
      x
      >0,则函数F(x)=xf(x)+
      1
      x
      的零点个数是(  )

      试题解答


      B
      解:由F(x)=xf(x)+
      1
      x
      =0,得xf(x)=-
      1
      x

      设 g(x)=xf(x),
      则g′(x)=f(x)+xf′(x),
      ∵x≠0时,有f′(x)+
      f(x)
      x
      >0,
      ∴x≠0时,
      f(x)+xf′(x)
      x
      >0,
      即当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0,此时函数g(x)单调递增,
      此时g(x)>g(0)=0,
      当x<0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)<0,此时函数g(x)单调递减,

      此时g(x)>g(0)=0,
      作出函数g(x)和函数y=-
      1
      x
      的图象,(直线只代表单调性和取值范围),由图象可知函数F(x)=xf(x)+
      1
      x
      的零点个数为1个.
      故选:B.
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