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  • 已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)+f(x)x＞0，则函数F(x)=xf(x)+1x的零点个数是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)+
      f(x)
      x
      ＞0，则函数F(x)=xf(x)+
      1
      x
      的零点个数是（　　）

      试题解答

      B
      解：由F(x)=xf(x)+
      1
      x
      =0，得xf（x）=-
      1
      x
      ，
      设 g（x）=xf（x），
      则g′（x）=f（x）+xf′（x），
      ∵x≠0时，有f′(x)+
      f(x)
      x
      ＞0，
      ∴x≠0时，
      f(x)+xf′(x)
      x
      ＞0，
      即当x＞0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
      此时g（x）＞g（0）=0，
      当x＜0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
      此时g（x）＞g（0）=0，
      作出函数g（x）和函数y=-
      1
      x
      的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数F(x)=xf(x)+
      1
      x
      的零点个数为1个．
      故选：B．
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      选修1-1北师大版单选题高中数学

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