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  • 已知函数f（x）=ax3+x2-ax（a，x∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，试求a的取值或取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax3+x2-ax（a，x∈R）．
      （1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
      （2）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，试求a的取值或取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=1时，f（x）=x3+x2-x，求导数可得f′（x）=3x2+2x-1，
      令f′（x）=0，可解得      x1=
      1
      3
      ，x2=-1，
      故x、f′（x）和f（x）的变化情况如下表：
      x （-∞，-1） -1 (-1，
      1
      3
      )
      1
      3
      		(
      1
      3
      ，+∞)
      f′（x） + 0 - 0 +
      f（x） 递增 极大值f（-1）=1 递减 极小值f(
      1
      3
      )=-
      5
      27
      		递增
      即函数的极大值为1，极小值为-
      5
      27
      ；
      （2）f'（x）=3ax      2+2x-a，
      若f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，
      则f'（x）在区间[0，+∞）内恒大于或等于零，
      若a＜0，这不可能，
      若a=0，则f（x）=x      2符合条件，
      若a＞0，则由二次函数f'（x）=3ax      2+2x-a的性质知
      {
      -
      2
      3a
      ＜0
      f(0)=-a＞0
      ，即
      {
      a＞0
      a＜0
      ，这也不可能，
      综上a=0时，f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
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      选修1-1北师大版解答题高中数学

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