已知关于x的函数f(x)=-13x3 +bx2 +cx+bc，其导函数f′（x）．（1）如果函数f(x)在x=1处有极值-43，试确定b、c的值；（2）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）-c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k≤1，求实数b的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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已知关于x的函数f(x)=-

+bx

+cx+bc，其导函数f′（x）．
（1）如果函数f(x)在x=1处有极值-

，试确定b、c的值；
（2）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）-c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k≤1，求实数b的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）f′（x）=-x²+2bx+c
∵函数f（x）在x=1处有极值-

∴

{

f′(1)=-1+2b+c=0

f(1)=-

+b+c+bc=-

（3分）
解得

{

b=1

c=-1

或

{

b=-1

c=3

（4分）
（i）当b=1，c=-1时，f′（x）=-（x-1）²≤0
所以f（x）在R上单调递减，不存在极值
（ii）当b=-1，c=3时，f′（x）=-（x+3）（x-1）
x∈（-3，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增
x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减
所以f（x）在x=1处存在极大值，符合题意．
综上所述，满足条件的值为b=-1，c=3（7分）
（2）当x∈（0，1）时，函数y=f（x）-c（x+b）=-

x³+bx²，
设图象上任意一点P（x₀，y₀），则k=y′|_x=x₀=-x₀²+2bx₀，x₀∈（0，1），
因为k≤1，
所以对任意x₀∈（0，1），=-x₀²+2bx₀≤1恒成立（9分）
所以对任意x₀∈（0，1），不等式b≤

₀

2x₀

恒成立
设g（x）=

x²+1

，则g′（x）=

(x-1)(x+1)

2x²

，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0
故g（x）在区间（0，1）上单调递减
所以对任意x₀∈（0，1），g（x₀）＞g（1）=1（12分）
所以b≤1．（14分）

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选修1-1 北师大版解答题高中数学

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