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  • （文）已知函数f(x)=ax2-2√4+2b-b2x，g(x)=-√1-(x-a)2，（a，b∈R）（Ⅰ）当b=0时，若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对（a，b）：当a是整数时，存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值；（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对（a，b），试构造一个定义在D={x|x＞-2，且x≠2k-2，k∈N}上的函数h（x），使当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x），当x∈D时，h（x）取得最大值的自变量的值构成以x0为首项的等差数列．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （文）已知函数f(x)=ax2-2
      √4+2b-b2
      x，g(x)=-
      √1-(x-a)2
      ，（a，b∈R）
      （Ⅰ）当b=0时，若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
      （Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对（a，b）：当a是整数时，存在x      0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值；
      （Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对（a，b），试构造一个定义在D={x|x＞-2，且x≠2k-2，k∈N}上的函数h（x），使当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x），当x∈D时，h（x）取得最大值的自变量的值构成以x      0为首项的等差数列．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）当b=0时，f（x）=ax2-4x，
      若a=0，f（x）=-4x，则f（x）在[2，+∞）上单调递减，不符题意．
      故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，必须满足
      {
      a＞0
      4
      2a
      ≤2
      ，∴a≥1．
      （Ⅱ）若a=0，f(x)=-2
      √4+2b-b2
      x，则f（x）无最大值，故a≠0，∴f（x）为二次函数，
      要使f（x）有最大值，必须满足
      {
      a＜0
      4+2b-b2≥0
      ，即a＜0且1-
      √5
      ≤b≤1+
      √5
      ，
      此时，x=x      0=
      √4+2b-b2
      a
      时，f（x）有最大值．
      又g（x）取最小值时，x=x      0=a，依题意，有
      √4+2b-b2
      a
      =a∈Z，则a2=
      √4+2b-b2
      =
      √5-(b-1)2
      ，
      ∵a＜0且1-
      √5
      ≤b≤1+
      √5
      ，∴0＜a2≤
      √5
      (a∈Z)，得a=-1，此时b=-1或b=3．
      ∴满足条件的实数对（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．
      （Ⅲ）当实数对（a，b）是（-1，-1），（-1，3）时，f（x）=-x      2-2x
      依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可．
      如对x∈（2k-2，2k），k∈N，x-2k∈（-2，0），
      此时，h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）      2-2（x-2k），
      故h（x）=-（x-2k）      2-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k∈N．
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