已知函数：f（x）=lnx-ax-3（a≠0）（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g(x)=x3+x22[m-2f′(x)]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数：f（x）=lnx-ax-3（a≠0）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g(x)=x³+

x²

[m-2f′(x)]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=

-a，（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为(0，

)，减区间为(

，+∞)；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；（6分）
（Ⅱ）g(x)=x³+

x²

[m-2f′(x)]=x³+(

+a)x²-x，∴g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，
∵g（x）在区间（a，3）上有最值，
∴g（x）在区间（a，3）上总不是单调函数，
又g′(0)=-1∴

{	g′(a)＜0 g′(3)＞0

（9分）
由题意知：对任意a∈[1，2]，g'（a）=3a²+（m+2a）?a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，∴m＜

1-5a²

-5a，因为a∈[1，2]，所以∴m＜-

，
对任意a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴m＞-

∴-

＜m＜-

（12分）

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