已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为（-13，1），求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为（-

，1），求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）g′（x）=3x²+2ax-1
由题意3x²+2ax-1＞0的解集是（-

，1），即3x²+2ax-1=0的两根分别是-

，1
将x=1或-

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1，
∴g（x）=x³-x²-x+2
（Ⅱ）由题意知，2xlnx≤3x²+2ax-1+2在x∈（0，+∞）上恒成立
即a≥lnx-

，
设h（x）=lnx-

，则h′(x)=

2x²

(3x+1)(x-1)

2x²

令h′（x）=0，得x=1，x=-

（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，．
∴a≥-2，即a的取值范围是[-2，+∞）．

标签