函数f（x）=2ax-x2+lnx，a为常数．（1）当a=12时，求f（x）的最大值；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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函数f（x）=2ax-x²+lnx，a为常数．
（1）当a=

时，求f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

见解析

解：（1）当a=

时，f（x）=x-x²+lnx，则f（x）的定义域为：（0，+∞），
∴f^′(x)=1-2x+

-(2x+1)(x-1)

．
∴由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1；
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
∴f（x）的最大值为f（1）=0；
（2）∵f^′(x)=2a-2x+

．
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立．
∴2a-2x+

≥0，或2a-2x+

≤0在区间[1，2]上恒成立．
即2a≥2x-

，或2a≤2x-

在区间[1，2]上恒成立，
设h(x)=2x-

，则h^′(x)=2+

x²

＞0
∴h(x)=2x-

在区间[1，2]上为增函数．
∴h(x)_max=h(2)=

，h(x)_min=h(1)=1，
∴函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，只需使2a≥

，或2a≤1即可，
∴a≥

，或a≤

．

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