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  • 已知a为常数，函数f（x）=ln（√1+x2+x）+ax．（1）若a≥0，求证：函数f（x）在其定义域内是增函数；（2）若a＜0，试求函数f（x）的单调递减区间．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知a为常数，函数f（x）=ln（
      √1+x2
      +x）+ax．
      （1）若a≥0，求证：函数f（x）在其定义域内是增函数；
      （2）若a＜0，试求函数f（x）的单调递减区间．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明∵
      √1+x2
      ＞|x|，∴函数定义域为R
      ∵f′（x）=
      (
      √1+x2
      +x)′
      √1+x2
      +x
      +a=
      (
      √1+x2
      )′+1
      √1+x2
      +x
      +a=
      x
      √1+x2
      +1
      √1+x2
      +x
      +a=
      1
      √1+x2
      +a
      ∵a≥0，∴f′（x）＞0
      ∴函数f（x）在其定义域R内是增函数
      （2）解：∵f′（x）=
      1
      √1+x2
      +a 且a＜0
      ∴f′（x）＜0?      x2＞
      1-a2
      a2

      ①当a≤-1时，f′（x）≤0恒成立且不恒等于零，故函数的单调减区间为（-∞，+∞）
      ②当-1＜a＜0时，原函数的单调减区间为（-∞，
      √1-a2
      a
      ），（-
      √1-a2
      a
      ，+∞）
      标签
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