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函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b∈R．若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求b的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b∈R．若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求b的取值范围．

试题解答

见解析

解：由x+1＞0，得x＞-1，所以函数f（x）=x²+bln（x+1）的定义域为（-1，+∞），
再由f（x）=x²+bln（x+1），得：f^′(x)=2x+

b

x+1

=

2x²+2x+b

x+1

，
要使函数f（x）在其定义域内是单调函数，则f^′（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，
因为x+1＞0，
令g（x）=2x²+2x+b，则g（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，
函数g（x）开口向上，且对称轴为x=-

1

2

，所以只有当△=2²-4×2b≤0，即b≥

1

2

时g（x）≥0恒成立．
所以，使函数f（x）在其定义域内是单调函数的b的取值范围是[

1

2

，+∞)．

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选修1-1 北师大版解答题高中数学

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