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  • 已知抛物线C：y=x2+4x+27，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．（Ⅰ）若C在点M的法线的斜率为-12，求点M的坐标（x0，y0）；（Ⅱ）设P（-2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知抛物线C：y=x2+4x+
      2
      7
      ，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．
      （Ⅰ）若C在点M的法线的斜率为-
      1
      2
      ，求点M的坐标（x0，y0）；
      （Ⅱ）设P（-2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由题意知，M处的切线的斜率k=
      -1
      -
      1
      2
      =2，
      ∵y′=2x+4，
      ∴2x      0+4=2，解得x0=-1，
      将x      0=-1代入y=x2+4x+
      7
      2
      中，解得y0=
      1
      2
      ，
      ∴M（-1，
      1
      2
      ）；
      （Ⅱ）设 M（x      0，y0）为C上一点，
      ①若x      0=-2，则C上点M（-2，-
      1
      2
      ）处的切线斜率 k=0，过点M（-2，-
      1
      2
      ） 的法线方程为x=-2，此法线过点P（-2，a）；
      ②若 x      0≠-2，则过点 M（x0，y0）的法线方程为：y-y0=-
      1
      2x0+4
      （x-x0） ①
      若法线过P（-2，a），则 a-y      0=-
      1
      2x0+4
      （-2-x0），即（x0+2）2=a ②
      若a＞0，则x      0=-2±
      √a
      ，从而y0=
      2a-1
      2
      ，将上式代入①，
      化简得：x+2
      √a
      y+2-2a
      √a
      =0或x-2
      √a
      y+2+2a
      √a
      =0，
      若a=0与x      0≠-2矛盾，若a＜0，则②式无解．
      综上，当a＞0时，在C上有三个点（-2+
      √a
      ，
      2a-1
      2
      ），（-2-
      √a
      ，
      2a-1
      2
      ）及
      （-2，-
      1
      2
      ），在这三点的法线过点P（-2，a），其方程分别为：
      x+2
      √a
      y+2-2a
      √a
      =0，x-2
      √a
      y+2+2a
      √a
      =0，x=-2．
      当a≤0时，在C上有一个点（-2，-
      1
      2
      ），在这点的法线过点P（-2，a），其方程为：x=-2．
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      选修1-1人教A版解答题高中数学

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