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  • 设函数ht(x)=3tx-2t32，若有且仅有一个正实数x0，使得h4（x0）≥ht（x0）对任意的正实数t成立，则x0= ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      设函数ht(x)=3tx-2t
      3
      2
      ，若有且仅有一个正实数x0，使得h4（x0）≥ht（x0）对任意的正实数t成立，则x0=          ．

      试题解答

      2
      解：由h4（x0）≥ht（x0）化为12x0-16≥3tx0-2t
      3
      2
      ，即2t
      3
      2
      -3tx0+12x0-16≥0．
      令g（t）=2t
      3
      2
      -3tx0+12x0-16．
      有且仅有一个正实数x      0，使得h4（x0）≥ht（x0）对任意的正实数t成立?有且仅有一个正实数x0，使得g（t）min≥0．
      由      g′(t)=3
      √t
      -3x0=3(
      √t
      -x0)，令g′（t）=0，解得t=x
      2
      0
      ．
      由g      ′（t）＞0，解得t＞x
      2
      0
      ；由g′（t）＜0，解得0＜t＜x
      2
      0
      ．
      ∴g（t）在(0，      x
      2
      0
      )上单调递减；在(x
      2
      0
      ，+∞)上单调递增．
      因此g（t）在t=      x
      2
      0
      取得极小值，也即最小值．
      ∴g(t)      min=g(x
      2
      0
      )=-x
      3
      0
      +12x0-16．
      由-      x
      3
      0
      +12x0-16≥0，化为(x0-2)2(x0+4)≤0，
      ∵x      0＞0，∴当且仅当x0=2时上式成立．
      故答案为2．
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      必修1人教A版填空题高中数学

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