已知f（x）=x+1|x|．（1）指出的f（x）值域；（2）求函数g（x）=f（x）-p（p∈R）的零点的个数．（3）若函数f（x）对任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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已知f（x）=x+

|x|

．
（1）指出的f（x）值域；
（2）求函数g（x）=f（x）-p（p∈R）的零点的个数．
（3）若函数f（x）对任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

见解析

解：（1）当x＞0时，f(x)=x+

≥2，当x＜0时，f(x)=x-

∈R，
所以，f（x）值域为R．
（2）函数g（x）=f（x）-p（p∈R）的零点的个数，即函数f（x）的图象和直线y=p的交点个数．
由（1）可得，当x＞0时，若p＞2，g（x）有二个零点；
若p=2，则g（x）有一个零点；若p＜2，则g（x）没有零点；
因为当x＜0时，(x-

)′=1+

x²

＞0，所以，f（x）是增函数，
函数g（x）=f（x）-p（p∈R）的零点的个数是 1．
（3）显然，m≠0，由于函数f（x）=x-

在[-2，-1]上是增函数，
函数f（x）对任意x∈[-2，-1]，不等式f（mx）+mf（x）=2mx-

m²+1

＜0恒成立，
即 2m²x²-m²-1＞0恒成立，即 m²＞

2x²-1

恒成立，
而

2x²-1

在[-2，-1]上的最大值为1，∴m＞1．

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