已知函数f（x）=ax2+ax-4（a∈R）．（1）若函数f（x）恰有一个零点，求a的值；（2）若对任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，求x的取值范围；（3）设函数g（x）=（a+1）x2+2ax+2a-5，是否存在实数a，使得当x∈（-2，-1）时，函数g（x）的图象始终在f（x）图象的上方，若存在，试求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f（x）=ax²+ax-4（a∈R）．
（1）若函数f（x）恰有一个零点，求a的值；
（2）若对任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，求x的取值范围；
（3）设函数g（x）=（a+1）x²+2ax+2a-5，是否存在实数a，使得当x∈（-2，-1）时，函数g（x）的图象始终在f（x）图象的上方，若存在，试求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）当a=0时，f（x）=-4无零点，舍去 …（1分）
当a≠0时，有△=a²+16a=0解得 a=-16或a=0（舍去） …（3分）
综合得：a=-16…（4分）
（2）由题意得：因为任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，
令 H（a）=ax²+ax-4=（x²+x）a-4
所以，本题等价于：H（a）≤0在a∈[1，2]上恒成立． …（7分）
又H（0）=-4
所以，H（2）=2（x²+x）-4≤0即 x²+x-2≤0，
解得：-2≤x≤1…（10分）
（3）令 F（x）=g（x）-f（x）=x²+ax+2a-1…（12分）
假设存在这样的实数a，则必有F（x）=x²+ax+2a-1＞0在区间（-2，-1）上恒成立．
又因为F（x）对称轴方程 x=-

，所以有：
①

{

≤-2

F(-2)=4-2a+2a-1≥0

…（13分）
解得：

{

a≥4

a∈R

所以 a≥4
②

{

≥-1

F(-1)=1-a+2a-1≥0

…（14分）
解得：

{

a≤2

a≥0

所以 0≤a≤2
③

{

-2＜-

＜-1

△=a²-4(2a-1)＜0

解得：

{	2＜a＜4 4-2 √3 ＜a＜4+2 √3

所以 2＜a＜4…（15分）
综合以上得：a≥0
所以，存在这样的实数a，当实数a≥0时，函数g（x）的图象始终在f（x）图象的上方．…（16分）
备注：解答题其它解题方法酌情给分．

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必修1 人教A版解答题高中数学

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