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  • 已知函数h（x）=x2，φ（x）=2elnx（其中e是自然对数的底数）．（1）判断函数F（x）=h（x）-φ（x）的零点个数并证明你的结论；（2）证明：当x＞0时，φ（x）图象不可能在直线y=2√ex-e的上方．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数h（x）=x2，φ（x）=2elnx（其中e是自然对数的底数）．
      （1）判断函数F（x）=h（x）-φ（x）的零点个数并证明你的结论；
      （2）证明：当x＞0时，φ（x）图象不可能在直线y=2
      √e
      x-e的上方．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数F（x）只有一个零点．
      证明：∵F（x）=h（x）-φ（x）=x      2-2elnx（x＞0），
      ∴F'（x）=2x-
      2e
      x
      =
      2(x-
      √e
      )(x+
      √e
      )
      x
      ．
      当x=
      √e
      时，F'（x）=0．
      ∵当0＜x＜
      √e
      时，F'（x）＜0，此时函数F（x）递减；
      当x＞
      √e
      时，F'（x）＞0，此时函数F（x）递增；
      ∴当x=
      √e
      时，F（x）取极小值，其极小值为0．
      所以函数F（x）只有一个零点．
      （2）证明：令G（x）=φ（x）-2
      √e
      x+e=2elnx-2
      √e
      x+e，
      则G'（x）=
      2e
      x
      -2
      √e
      =
      2
      √e
      (
      √e
      -x)
      x
      ，当x=
      √e
      时，G'（x）=0．
      ∵当0＜x＜
      √e
      时，G'（x）＞0，此时函数G（x）递增；
      当x＞
      √e
      时，G'（x）＜0，此时函数G（x）递减；
      ∴当x=
      √e
      时，G（x）取极大值，其极大值为0．
      从而G（x）=2elnx-2
      √e
      x+e≤0，
      即?（x）≤2
      √e
      x-e（x＞0）恒成立，
      所以当x＞0时，φ（x）图象不可能在直线y=2
      √e
      x-e的上方．
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