已知函数f（x）=|x2-1|，g（x）=x2+ax+2，x∈R．（Ⅰ）若不等式g（x）＞0的解集是{x|x＞2或x＜1}，求不等式f（x）≤g（x）的解集；（Ⅱ）若函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个不同的零点x1，x2，求实数a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=|x²-1|，g（x）=x²+ax+2，x∈R．
（Ⅰ）若不等式g（x）＞0的解集是{x|x＞2或x＜1}，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（Ⅱ）若函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个不同的零点x₁，x₂，求实数a的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）∵不等式g（x）＞0的解集是{x|x＞2或x＜1}，
∴由韦达定理得-a=1+2，∴a=-3，（1分）
于是g（x）=x²-3x+2．
又f（x）=

{	x²-1，x≤-1或x≥1 1-x²，-1＜x＜1

当x≤-1或x≥1时，由f（x）≤g（x）得x²-1≤x²-3x+2，解得x≤1，
∴此时x的范围为x≤-1或x=1．（3分）
当-1＜x＜1时，由f（x）≤g（x）得1-x²≤x²-3x+2，解得x≤

或x≥1，
∴此时x的范围为-1＜x≤

．（5分）
综上知，不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x≤

或x=1}．（6分）
（Ⅱ）由h（x）=f（x）+g（x）+2，可得a=

-|x²-1|-x²-4

{

-(1-x²)-x²-4

，x∈(0，1)

-(x²-1)-x²-4

=-(2x+

)，x∈[1，2)

（8分）
x∈（0，1），a=-

单调递增，且值域为（-∞，-5）；（10分）
x∈[1，2），k（x）=-（2x+

）先增后减，
∵k（1）=-5，k（x）_max=-2

√6

，k（2）=-

∴-

＜a＜-2

√6

综上，-

＜a＜-2

√6

．（15分）

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