已知函数f（x）=2x2-（k2+k+1）x+15，g（x）=k2x-k，其中k∈R．（1）设p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；（2）设函数q(x)={g(x)x≥0f(x)x＜0是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）=q（x1）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f（x）=2x²-（k²+k+1）x+15，g（x）=k²x-k，其中k∈R．
（1）设p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；
（2）设函数q(x)=

{	g(x)x≥0 f(x)x＜0

是否存在实数k，对任意给定的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）由题意可得 p（x）=f（x）+g（x）=2x²-（k+1）x+15-k 在（1，4）上有零点．
∴△=（k²+2k+1）-8（15-k）≥0，解得 k≤-17，或 k≥7．
若p（x）在（1，4）上有唯一零点，则 p（1）p（4）=（16-2k）（43-5k）＜0 ①，
或

{	△＞0 P(1)=0 P(4)＞0

②，或

{	△＞0 P(1)＞0 P(4)=0

③，或

{	P(1)＞0 P(4)＞0 △=0

④．
解①得 8＜k＜

，解②得k=8，解③得k∈?，解④可得 k=7．
若p（x）在（1，4）上有2个零点，则有

{

△＞0

P(1)＞0

P(4)＞0

1＜

k+1

＜4

，解得 7＜k＜8．
综上可得，实数k的取值范围为[7，

）．
（2）函数q(x)=

{	g(x)x≥0 f(x)x＜0

，即 q(x)=

{	k ²x -k ， x ≥0 2x ² -(k ²-k+1)x+15 ， x＜0

．
显然，k=0不满足条件，故k≠0．
当x≥0时，q（x）=k²x-k∈[-k，+∞）．
当x＜0时，q（x）=2x²-（k²+k+1）x+15∈（15，+∞）．
记A=[-k，+∞），记 B=（15，+∞）．
①当x₂＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＜0，且A?B，
故-k≥15，解得 k≤-15．
②当x₂＜0时，q（x）在（-∞，0）上是减函数，要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＞0，且B?A，
故-k≤15，解得 k≥-15．
综上可得，k=-15满足条件．

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