已知函数f(x)=x22+ax+b，其中a、b∈R，g（x）=ex（e是自然对数的底）．（1）当b＜a＜1，f（1）=0，且函数y=2f（x）+1的零点，证明：-32＜b≤-12；（2）当b=1时，若不等式f（x）≤g（x）在x∈(12，+∞)恒成立，求a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f(x)=

x²

+ax+b，其中a、b∈R，g（x）=e^x（e是自然对数的底）．
（1）当b＜a＜1，f（1）=0，且函数y=2f（x）+1的零点，证明：-

＜b≤-

；
（2）当b=1时，若不等式f（x）≤g（x）在x∈(

，+∞)恒成立，求a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（I）由f（1）=0，得a=-

2b+1

又b＜a＜1，
∴b＜-

2b+1

＜1，
解得-

＜b＜-

①
且函数y=2f（x）+1的零点，即x²+2ax+2b+1=0有实根
∴△=4a²-4（2b+1）≥0
将a=-

2b+1

代入化简得：4b²-4b-3≥0
解得b≤-

或b≥

②
由①②得-

＜b≤-

．

（II）当b=1时，f(x)=

x²

+ax+1，由式f（x）≤g（x），
得ax≤e^x-

x²-1在x∈(

，+∞)恒成立，
即a≤

e^x-

x²-1

在x∈(

，+∞)恒成立，
令g(x)=

e^x-

x²-1

，则g′(x)=

e^x(x-1)-

x²+1

x²

令h(x)=e^x(x-1)-

x²+1，则h'（x）=x（e^x-1）
∵x∈(

，+∞)
∴h′（x）＞0
即h（x）在(

，+∞)上单调递增
∴h（x）≥h（

）=

√e

＞0
∴g'（x）＞0
∴g（x）在x∈(

，+∞)单调递增
则g（x）≥g（

）=

e^1
2-

-1

√e

故a≤2

√e

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