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已知函数f（x）=12x+1+m，m∈R．（1）若m=-12，求证：函数f（x）是R上的奇函数；（2）若函数f（x）在区间（1，2）上没有零点，求实数m的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=

1

2^x+1

+m，m∈R．
（1）若m=-

1

2

，求证：函数f（x）是R上的奇函数；
（2）若函数f（x）在区间（1，2）上没有零点，求实数m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1 ）定义域为R关于原点对称．因为
f（x）+f（-x）=

1

2^x+1

-

1

2

+

1

2^-x+1

-

1

2

=

1

2^x+1

-

1

2

+

2^x

2^x+1

-

1

2

=0，
所以函数f（x）是定义在R上的奇函数．
（2）f'（x）=-

2^xln2

(1+2^x)²

＜0，
∴f（x）是实数集R上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）
又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0
即（m+

1

3

）（m+

1

5

）＜0解之得-

1

3

＜m＜-

1

5

，故函数
f（x）在区间（1，2）没有零点时，实数m的取值范围是m≥-

1

5

或m≤-

1

3

…（14分）

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