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  • 已知关于x的不等式k4x-2x+1+6k＜0，（1）若不等式的解集为（1，log23），求实数k的值；（2）若不等式对一切x∈（1，log23）都成立，求实数k的取值范围；（3）若不等式的解集为（1，log23）的子集，求实数k的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知关于x的不等式k4x-2x+1+6k＜0，
      （1）若不等式的解集为（1，log      23），求实数k的值；
      （2）若不等式对一切x∈（1，log      23）都成立，求实数k的取值范围；
      （3）若不等式的解集为（1，log      23）的子集，求实数k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）关于x的不等式k4x-2x+1+6k＜0可以化为k（2x）2-2×2x+6k＜0，
      令2      x=t，∵1＜x＜log23，∴2＜t＜3，则不等式可化为kt2-2t+6k＜0，
      ∵关于x的不等式k4      x-2x+1+6k＜0的解集为（1，log23），
      ∴（2，3）是不等式kt      2-2t+6k＜0的解集，
      ∴2，3是方程kt      2-2t+6k=0的两个实数根，且k＜0．
      解得k=
      2
      5
      ；
      （2）∵不等式对一切x∈（1，log      23）都成立，
      由（1）可知：即对于2＜t＜3，不等式kt      2-2t+6k＜0恒成立，
      等价于：k＜[
      2t
      t2+6
      ]min，t∈（2，3）．
      令g(t)=
      2t
      t2+6
      ，t∈（2，3）．
      则      g′(t)=
      -2(t2-6)
      (t2+6)2
      ，令g′（t）=0，解得t=
      √6
      ，
      当2＜t＜
      √6
      时，g′（t）＞0，函数g（t）在(2，
      √6
      )上单调递增；
      当
      √6
      ＜t＜3时，g′（t）＜0，函数g（t）在(
      √6
      ，3)上单调递减；
      而函数g（t）在t=2，3处有意义，且g（2）=
      2
      5
      ，g（3）=
      2
      5
      ．
      故k≤
      2
      5
      ；
      （3）因为不等式的解集为（1，log      23）的子集，
      由（1）可知：即对于2＜t＜3，不等式kt      2-2t+6k＜0的解集A?（2，3），
      令f（t）=kt      2-2t+6k，△=4-24k2，
      则
      {
      k＞0
      △≤0
      ，或
      {
      f(2)≥0，f(3)≥0
      f(
      1
      k
      )＜0
      2＜
      1
      k
      ＜3

      解得k≥
      √6
      6
      或
      2
      5
      ≤k＜
      √6
      6
      ，
      即k≥
      2
      5
      ．
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