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  • 设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为 ；（2）若a，b，c是△ABC的三边长，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）．①对于区间（-∞，1）内的任意x，总有f（x）＞0成立；②存在实数x，使得ax，bx，cx不能同时成为任意一个三角形的三条边长；③若CA?CB＜0，则存在实数x∈（1，2），使f（x）=0．（提示：AB=CB-CA）试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
      （1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为                ；
      （2）若a，b，c是△ABC的三边长，则下列结论正确的是                （写出所有正确结论的序号）．
      ①对于区间（-∞，1）内的任意x，总有f（x）＞0成立；
      ②存在实数x，使得a      x，bx，cx不能同时成为任意一个三角形的三条边长；
      ③若
      CA
      ?
      CB
      ＜0，则存在实数x∈（1，2），使f（x）=0．（提示：
      AB
      =
      CB
      -
      CA
      ）

      试题解答

      {x|0＜x≤1}:①②③
      解：（1）∵c＞a，由c≥a+b=2a，∴
      c
      a
      ≥2，则ln
      c
      a
      ≥ln2＞0，
      令f（x）=a      x+bx-cx=2ax-cx=cx[2(
      a
      c
      )x-1]=0，得(
      c
      a
      )x=2，
      ∴x=
      ln2
      ln
      c
      a
      ≤
      ln2
      ln2
      =1，0＜x≤1，
      故答案为：{x|0＜x≤1}；
      （2）∵f（x）=a      x+bx-cx=cx[(
      a
      c
      )x+(
      b
      c
      )x-1]，
      又
      a
      c
      ＜1，
      b
      c
      ＜1，∴对x∈（-∞，1），(
      a
      c
      )x+(
      b
      c
      )x-1＞(
      a
      c
      )1+(
      b
      c
      )1-1=
      a+b-c
      c
      ＞0，
      故命题①正确；
      令x=-1，a=2，b=4，c=5．则a      x=
      1
      2
      ，bx=
      1
      4
      ，cx=
      1
      5
      ，不能构成一个三角形的三条边长．
      故命题②正确；
      若
      CA
      ?
      CB
      ＜0，则角C为钝角，且a2+b2-c2＜0．
      f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a      2+b2-c2＜0，
      ∴?x∈（1，2），使f（x）=0．
      ∴命题③正确．
      故答案为①②③．
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