设关于x的函数f（x）=x2-2x+a（a＞2），曲线y=2x+1上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是．试题及答案-单选题-云返教育

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设关于x的函数f（x）=x²-2x+a（a＞2），曲线y=2^x+1上存在点（x₀，y₀），使得f（f（y₀））=y₀，则实数a的取值范围是．

试题解答

2＜a≤

解：∵点（x₀，y₀）在曲线y=2^x+1上，
∴y₀=2^x₀+1＞1，
设t=y₀，且t＞1，则f（f（y₀））=y₀变为f[f（t）]=t，
由曲线y=2^x+1上存在点（x₀，y₀），使得f（f（y₀））=y₀得，
方程f[f（t）]=t，即f[f（t）]-t=0至少有一个大于1的实根，
∵f（x）=x²-2x+a（a＞2），
∴f[f（t）]-t=0为：
（t²-2t+a）²-2（t²-2t+a）+a-t=0，
（t²-2t+a）²-2t²+3t-a=0
[（t²-2t+a）²-t²]-t²+3t-a=0
（t²-3t+a）（t²-t+a）-（t²-3t+a）=0
（t²-3t+a）（t²-t+a-1）=0
则t²-3t+a=0或t²-t+a-1=0，
当t²-t+a-1=0时，由△=1-4（a-1）=5-4a，
∵a＞2，∴5-4a＜-3＜0，
则方程t²-t+a-1=0无解；
当t²-3t+a=0时，故此方程至少有一个大于1的实根，
又∵函数f（t）=t²-3t+a的对称轴t=

＞1，
∴△=9-4a≥0时，方程t²-3t+a=0至少有一个大于1的实根，
解得a≤

，
综上得，实数a的取值范围是2＜a≤

．
故答案为：2＜a≤

．

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设关于x的函数f（x）=x2-2x+a（a＞2），曲线y=2x+1上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是 ．试题及答案-单选题-云返教育

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