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  • 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，bc≠0），，F(x)={f(x)x＞0-f(x)x＜0.（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且f（0）=1，求F（2）+F（-2）的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]恒成立，试求k的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为m，且 0＜m≤2，试确定c-b的符号．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，bc≠0），，F(x)=
      {
      f(x)x＞0
      -f(x)x＜0.

      （Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且f（0）=1，求F（2）+F（-2）的值；
      （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]恒成立，试求k的取值范围；
      （Ⅲ）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为m，且 0＜m≤2，试确定c-b的符号．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由已知c=1，a-b+c=0，且-
      b
      2a
      =-1．
      解得a=1，b=2，
      ∴f（x）=（x+1）      2，∴F(x)=
      {
      (x+1)2(x＞0)
      -(x+1)2(x＜0)
      ，
      ∴F（2）+F（-2）=（2+1）      2+[-（-2+1）2]=8．
      （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]恒成立，即x      2+x+1-k＞0在区间[-3，-1]恒成立，
      从而k＜x      2+x+1在区间[-3，-1]上恒成立，
      令函数p（x）=x      2+x+1，
      则函数p（x）=x      2+x+1在区间[-3，-1]上是减函数，且其最小值p（x）min=p（-1）=1，
      ∴k的取值范围为（-∞，1）
      （Ⅲ）由g（1）=0，得2a+b=0，
      ∵a＞0∴b=-2a＜0，
      设方程f（x）=0的两根为x      1，x2，则x1+x2=-
      b
      a
      =2，x1x2=
      c
      a
      ，
      ∴m=|x      1-x2|=
      √(x1+x2)2-4x1x 2
      =
      √4-
      4c
      a
      ，
      ∵0＜m≤2，∴0＜
      √4-
      4c
      a
      ≤2，∴0≤
      c
      a
      ＜1，
      ∵a＞0且bc≠0，∴c＞0，
      ∴c-b＞0
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      必修1人教A版单选题高中数学

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