设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(12，1)内存在唯一的零点；（2）设n为偶数，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f_n(x)=xⁿ+bx+c(n∈N₊，b，c∈R)
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间(

，1)内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；
（3）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）当b=1，c=-1，n≥2时，f（x）=xⁿ+x-1
∵f（

）f（1）=（

2ⁿ

）×1＜0，∴f（x）在区间(

，1)内存在零点，
又当x∈（

，1）时，f′（x）=nx^n-1+1＞0，
∴f（x）在（

，1）上单调递增，∴f（x）在区间(

，1)内存在唯一的零点；
（2）解法一由题意知

{	-1≤f(-1)≤1 -1≤f(1)≤1

，即

{	0≤b-c≤2 -2≤b+c≤0

由图象知b+3c在点（0，-2）取到最小值-6，在点（0，0）处取到最大值0，
∴b+3c的最小值为-6，最大值为0；
解法二由题意知
-1≤f（1）=1+b+c≤1，即-2≤b+c≤0，①
-1≤f（-1）=1-b+c≤1，即-2≤-b+c≤0，②
①×2+②得：-6≤2（b+c）+（-b+c）=b+3c≤0，
当b=0，c=-2时，b+3c=-6；当b=c=0，时，b+3c=0；
∴b+3c的最小值为-6，最大值为0；
解法三由题意知

{	f(-1)=1-b+c f(1)=1+b+c

，解得b=

f(1)-f(-1)

，c=

f(1)+f(-1)+2

，
∴b+3c=2f（1）+f（-1）-3，
∵-1≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤1，
∴-6≤b+3c≤0，
当b=0，c=-2时，b+3c=-6；当b=c=0，时，b+3c=0；
∴b+3c的最小值为-6，最大值为0；
（3）当n=2时，f（x）=x²+bx+c，对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，等价于在[-1，1]上最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论如下：
（i）当|

|＞1，即|b|＞2，M=|f（1）-f（-1）|=2|b|＞4，与题设矛盾；
（ii）当-1≤-

＜0，即0＜b≤2时，M=f（1）-f（-

）=(

+1)²≤4恒成立，
（iii）当0≤-

≤1，即-2≤b≤0时，M=f（-1）-f（-

）=(

-1)²≤4恒成立，
综上所述，-2≤b≤2．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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