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  • 若函数fA（x）的定义域为A=[a，b)，且fA(x)=(xa+bx-1)2-2ba+1，其中a、b为任意正实数，且a＜b．（1）当A=[4，7）时，研究fA（x）的单调性（不必证明）；（2）写出fA（x）的单调区间（不必证明），并求函数fA（x）的最小值、最大值；（3）若x1∈Ik=[k2，（k+1）2），x2∈Ik+1=[（k+1）2，（k+2）2），其中k是正整数，对一切正整数k不等式fIk(x1)+fIk+1(x2)＜m都有解，求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      若函数fA（x）的定义域为A=[a，b)，且fA(x)=(
      x
      a
      +
      b
      x
      -1)2-
      2b
      a
      +1，其中a、b为任意正实数，且a＜b．
      （1）当A=[4，7）时，研究f      A（x）的单调性（不必证明）；
      （2）写出f      A（x）的单调区间（不必证明），并求函数fA（x）的最小值、最大值；
      （3）若x      1∈Ik=[k2，（k+1）2），x2∈Ik+1=[（k+1）2，（k+2）2），其中k是正整数，对一切正整数k不等式fIk(x1)+fIk+1(x2)＜m都有解，求m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当A=[1，4)时，fA=(x+
      4
      x
      -1)2-7…（2分）
      ∵x+
      4
      x
      ∈[4，5]，∴当x∈[1，2]时fA（x）是减函数，当x∈[2，4）时fA（x）是增函数 …（4分）
      （2）      fA(x)=(
      x
      a
      +
      b
      x
      -1)2-
      2b
      a
      +1在x∈[a，
      √ab
      ]上fA是减函数；在x∈[
      √ab
      ，b)上fA是增函数．
      ∴当x=
      √ab
      时fA(x)有最小值为(2
      √
      b
      a
      -1)2-
      2b
      a
      +1=
      2b
      a
      -4
      √
      b
      a
      +2=2(
      √
      b
      a
      -1)2…（8分）
      当x=a时f      A（x）有最大值为(
      b
      a
      )2-
      2b
      a
      +1=
      b2
      a2
      -
      4b
      a
      +1=(
      b
      a
      -1)2…（10分）
      （3）当A=I      k时fIk(x)最小值为fIk(k(k+1))=
      2
      k2

      当A=I      k+1时fIk+1(x)最小值为fIk+1((k+1)(k+2))=
      2
      (k+1)2
      …（12分）
      ∴m＞
      2
      k2
      +
      2
      (k+1)2
      （k∈N*）…（14分）
      设 t=
      2
      k2
      +
      2
      (k+1)2
      ，(k∈N*)，则 tmax=
      5
      2
      ，∴m＞
      5
      2
      …（16分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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