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  • 函数f（x）=x3+（m-4）x2-3mx+（n-6）的图象关于原点对称．（1）求m，n的值；（2）证明：函数f（x）在[-2，2]上是减函数； 注：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）（3）x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥（n-logma）?logma恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）=x3+（m-4）x2-3mx+（n-6）的图象关于原点对称．
      （1）求m，n的值；
      （2）证明：函数f（x）在[-2，2]上是减函数； 注：a      3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）
      （3）x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥（n-log      ma）?logma恒成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由函数f（x）的图象关于原点对称可知函数为奇函数
      ∴f（0）=0，n=6
      f（-x）=-f（x）对任意的x都成立可得f（-1）=-f（1）
      ∴m=4
      （2）由（1）可得f（x）=x      3-12x
      （法一）设-2≤x      1＜x2≤2
      则f（x      1）-f（x2）=x13-12x1-x23+12x2
      =（x      1-x2）（x12+x1x2+x22）-12（x1-x2）
      =（x      1-x2）（x12+x1x2+x22-12）
      ∵-2≤x      1＜x2≤2
      ∴x      1-x2＜0，x12+x1x2+x22-12＜0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0
      即f（x      1）＜f（x2）
      ∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减
      （法二）：∵f′（x）=3x      2-12=3（x2-4）≤0
      ∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减
      （3）由（2）可知函数f（x）在[-2，2]上单调递减
      ∴f（x）      min=f（2）=-16，f（x）max=f（-2）=16
      ∵x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥（n-log      ma）?logma恒成立，
      ：（1）由函数f（x）的图象关于原点对称可知函数为奇函数
      ∴f（0）=0，n=6
      f（-x）=-f（x）对任意的x都成立可得f（-1）=-f（1）
      ∴m=4
      （2）由（1）可得f（x）=x      3-12x
      （法一）设-2≤x      1＜x2≤2
      则f（x      1）-f（x2）=x13-12x1-x23+12x2
      =（x      1-x2）（x12+x1x2+x22）-12（x1-x2）
      =（x      1-x2）（x12+x1x2+x22-12）
      ∵-2≤x      1＜x2≤2
      ∴x      1-x2＜0，x12+x1x2+x22-12＜0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0
      即f（x      1）＜f（x2）
      ∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减
      （法二）：∵f′（x）=3x      2-12=3（x2-4）≤0
      ∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减
      （3）由（2）可知函数f（x）在[-2，2]上单调递减
      ∴f（x）      min=f（2）=-16，f（x）max=f（-2）=16
      ∵x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥（n-log      ma）?logma恒成立，
      ∴-16≥（6-log      4a）?loga4
      ∴log      a4≥8或loga4≤-2
      ∴1＜a＜
      4√2
      或
      1
      2
      ≤a＜1
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