定义在[-1，1]上的函数f（x）满足f（1）=1，且当a，b∈[-1，1]时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论．（2）若f（x）是奇函数，不等式mf（x）≤m2+m-3对所有的x∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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定义在[-1，1]上的函数f（x）满足f（1）=1，且当a，b∈[-1，1]时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论．
（2）若f（x）是奇函数，不等式mf（x）≤m²+m-3对所有的x∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．

试题解答

见解析

（1）证明：设-1≤x₁＜x₂≤1，令a=x₂，b=x₁，
则x₂f（x₂）+x₁f（x₁）＞x₂f（x₁）+x₁f（x₂）
∴（x₂-x₁）f（x₂）+（x₁-x₂）f（x₁）＞0，
∴（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0
∵x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）当m=0时，0≤-3不成立（舍去）
当m＞0时，∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）≤f（1）=1
∴mf（x）≤m
∴

{	m＞0 m²+m-3≥m

∴m≥

√3

当m＜0时，∵f（x）是奇函数，
∴f（-1）=-f（1）=-1，
∴-1≤f（x）≤1，
∴mf（x）≤-m
∴

{	m＜0 m²+m-3≥-m

∴m≤-3
综上所述：m≥

√3

或m≤-3．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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