已知a＞0且a≠1，函数f（x）=ax+a-x（x∈[-1，1]），g（x）=ax2-2ax+4-a（x∈[-1，1]）．（1）求f（x）的单调区间和值域；（2）若对于任意x1∈[-1，1]，总存在x0∈[-1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围；（3）若对于任意x0∈[-1，1]，任意x1∈[-1，1]，都有g（x0）≥f（x1）恒成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=a^x+a^-x（x∈[-1，1]），g（x）=ax²-2ax+4-a（x∈[-1，1]）．
（1）求f（x）的单调区间和值域；
（2）若对于任意x₁∈[-1，1]，总存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围；
（3）若对于任意x₀∈[-1，1]，任意x₁∈[-1，1]，都有g（x₀）≥f（x₁）恒成立，求a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）=a^x+a^-x（x∈[-1，1]），
则f（-x）=a^x+a^-x=f（x），为偶函数，
设t=a^x，则函数f（x）等价为y=t+

，
若a＞1，当0≤x≤1时，t=a^x单调递增，且t≥1，此时函数y=t+

在t≥1上单调递增，∴根据复合函数的单调性可知此时f（x）单调递增．
若0＜a＜1，当0≤x≤1时，t=a^x单调递减，且0＜t≤1，此时函数y=t+

在0＜t≤1上单调递减，∴根据复合函数的单调性可知此时f（x）单调递增．
综上当x≥0时，函数单调递增，
∵函数f（x）是偶函数，∴当-1≤x≤0时，函数单调递减．
故函数的递增区间为[0，1]，递减区间为[-1，0]．
∴函数的值域为[2，a+

]．
（2）∵a＞0且a≠1，
∴g（x）=ax²-2ax+4-a（x∈[-1，1]）的对称轴为x=-

-2a

=1，
∴函数g（x）在x∈[-1，1]时，函数单调递减．
∴g（1）=2a+4，g（-1）=4-2a．
即4-2a≤g（x）≤4+2a，
若对于任意x₁∈[-1，1]，总存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
即g（x）_max≥f（x）_max且g（x）_min≥f（x）_min，
则

{

4+2a≥a+

4-2a≤2

，
即

{

4+a≥

a≥1

，
此时a≥1，
∵a＞0且a≠1，
∴a＞1，
即a的取值范围是a＞1；
（3）若对于任意x₀∈[-1，1]，任意x₁∈[-1，1]，都有g（x₀）≥f（x₁）恒成立，
即g（x）_min≥f（x）_max，
则4-2a≥a+

，
∴4-3a≥

，
∴3a²-4a+1≤0，
解得

≤a≤1，
∵a＞0且a≠1，
∴

≤a＜1，
即a的取值范围[

，1）．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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