设函数f（x）对于x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0时，f（x）＜0，f（-1）=-2．（1）求证：函数f（x）是奇函数；（2）试问f（x）在x∈[-4，4]上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由．（3）解关于x的不等式12f(bx2)-f(x)＞12f(b2x)-f(b)（b≤0）．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f（x）对于x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0时，f（x）＜0，f（-1）=-2．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）试问f（x）在x∈[-4，4]上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由．
（3）解关于x的不等式

f(bx²)-f(x)＞

f(b²x)-f(b)（b≤0）．

试题解答

见解析

证明：（1）证明：令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），从而f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
从而f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．…（4分）
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，从而f（x₁-x₂）＜0，
又f（x₁-x₂）=f[x₁+（-x₂）]=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）为R上的增函数，
∴当x∈[-4，4]时，f（x）必为增函数．
又由f（-1）=-2，得-f（1）=-2，
∴f（1）=2，
∴当x=-4时，f（x）_min=f（-4）=-f（4）=-4f（1）=-8；
当x=4时，f（x）_max=f（4）=4f（1）=8． …（9分）
（3）由已知得

[f(bx²)-f(b²x)]＜f(x)-f(b)．
∴

f(bx²-b²x)＞f(x-b)．
∴f（bx²-b²x）＞2f（x-b），即f（bx²-b²x）＞f（2x-2b）．
∵f（x）为R上增函数，
∴bx²-b²x＞2x-2b，
∴bx²-（b²+2）x+2b＞0，即（bx-2）（x-b）＞0．
当b=0时，-2x＞0，
∴不等式的解集为{x|x＜0}．
当b＜0时，（-bx+2）（x-b）＜0．
1°当-

√2

＜b＜0时，不等式的解集为{x|

＜x＜b }，
2°当b＜-

√2

时，不等式的解集为 {x| b＜x＜

}，
3°当b=-

√2

时，不等式的解集为?．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题