• 已知函数f(t)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+k(x+y)+3,k为常数,且f(1)=1,f(2)=17.(1)若t为正整数,求f(t)的解析式(已知公式:12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1);(2)求满足f(t)=t的所有正整数t;(3)若t为正整数,且t≥4时,f(t)≥mt2+(4m+1)+3m恒成立,求实数m的最大值.试题及答案-单选题-云返教育

    • 试题详情

      已知函数f(t)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+k(x+y)+3,k为常数,且f(1)=1,f(2)=17.
      (1)若t为正整数,求f(t)的解析式(已知公式:
      12+22+32+…+n2=
      1
      6
      n(n+1)(2n+1);
      (2)求满足f(t)=t的所有正整数t;
      (3)若t为正整数,且t≥4时,f(t)≥mt
      2+(4m+1)+3m恒成立,求实数m的最大值.

      试题解答


      见解析
      解:(1)令x=y=1,f(2)=f(1)+f(1)+12+2k+3?k=0,则f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3
      对于x,y∈R都成立
      令x=t(t∈N*),y=1f(t+1)=f(t)+f(1)+3t(t+3)+3?f(t+1)-f(t)=3t
      2+9t+4?f(2)-f(1)=3×12+9×1+4f(3)-f(2)=3×22+9×2+4
      …f(t)=f(t-1)=3(t-1)
      2+9×(t-1)+4
      用叠加法 f(t)-f(1)=3[1
      2+22+…+(t-1)2]+9[1+2+…+(t-1)]+4+4?k…+4=3?
      1
      6
      (t-1)?t?(2t-1)+9?
      1
      2
      (t-1)?t+4(t-1)=t3+3t2-4
      ∴f(t)=t
      3+3t2-3(t≥2)又t=1适合上式f(t)=t3+3t2-3(t≥2)(t∈N*)
      (2)若t∈N*,则t
      3+3t2-3=t?t3-t+3(t2+1)=0?(t-1)(t+1)(t+3)=0?t1=1,t2=-1,t3=-3(舍)
      又令x=y=0f(0)=-3
      令y=-x-3=f(x)+f(-x)+(-6x
      2)+3?f(x)+f(-x)=6x2-6对x∈R都成立
      若t为负整数,则f(t)=6t
      2-6-f(-t)=6t2-6+t3-3t2+3=t3+3t2-3
      由t
      3+3t2-3=t(t+3)(t+1)(t-1)?t1=-3,t2=-1,t3=1(舍)
      若t=0,则f(t)═t无解 综上,满足f(t)=t,所有整数t为1,-1,-3;
      (3)要使不等式恒成立,则只需m≤
      t3+3t2-t-3
      t2+4t+3
      对t≥4,且t∈N*恒成立
      即m≤
      (t+3)(t+1)(t-1)
      (t+3)(t+1)
      =t-1对t≥4,且t∈N*恒成立
      即且m≤(t-1)
      min=3
      实数m最大值为3

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