已知函数f（t）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+k（x+y）+3，k为常数，且f（1）=1，f（2）=17．（1）若t为正整数，求f（t）的解析式（已知公式：12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1)；（2）求满足f（t）=t的所有正整数t；（3）若t为正整数，且t≥4时，f（t）≥mt2+（4m+1）+3m恒成立，求实数m的最大值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（t）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+k（x+y）+3，k为常数，且f（1）=1，f（2）=17．
（1）若t为正整数，求f（t）的解析式（已知公式：1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)；
（2）求满足f（t）=t的所有正整数t；
（3）若t为正整数，且t≥4时，f（t）≥mt²+（4m+1）+3m恒成立，求实数m的最大值．

试题解答

见解析

解：（1）令x=y=1，f（2）=f（1）+f（1）+12+2k+3?k=0，则f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+3
对于x，y∈R都成立
令x=t（t∈N*），y=1f（t+1）=f（t）+f（1）+3t（t+3）+3?f（t+1）-f（t）=3t²+9t+4?f（2）-f（1）=3×1²+9×1+4f（3）-f（2）=3×2²+9×2+4
…f（t）=f（t-1）=3（t-1）²+9×（t-1）+4
用叠加法 f（t）-f（1）=3[1²+2²+…+（t-1）²]+9[1+2+…+（t-1）]+4+4?k…+4=3?

(t-1)?t?(2t-1)+9?

(t-1)?t+4(t-1)=t³+3t²-4
∴f（t）=t³+3t²-3（t≥2）又t=1适合上式f（t）=t³+3t²-3（t≥2）（t∈N*）
（2）若t∈N*，则t³+3t²-3=t?t³-t+3（t²+1）=0?（t-1）（t+1）（t+3）=0?t₁=1，t₂=-1，t₃=-3（舍）
又令x=y=0f（0）=-3
令y=-x-3=f（x）+f（-x）+（-6x²）+3?f（x）+f（-x）=6x²-6对x∈R都成立
若t为负整数，则f（t）=6t²-6-f（-t）=6t²-6+t³-3t²+3=t³+3t²-3
由t³+3t²-3=t（t+3）（t+1）（t-1）?t₁=-3，t₂=-1，t₃=1（舍）
若t=0，则f（t）═t无解综上，满足f（t）=t，所有整数t为1，-1，-3；
（3）要使不等式恒成立，则只需m≤

t³+3t²-t-3

t²+4t+3

对t≥4，且t∈N*恒成立
即m≤

(t+3)(t+1)(t-1)

(t+3)(t+1)

=t-1对t≥4，且t∈N*恒成立
即且m≤（t-1）_min=3
实数m最大值为3

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必修1 人教A版单选题高中数学

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