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已知函数f(t)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+k(x+y)+3,k为常数,且f(1)=1,f(2)=17.(1)若t为正整数,求f(t)的解析式(已知公式:12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1);(2)求满足f(t)=t的所有正整数t;(3)若t为正整数,且t≥4时,f(t)≥mt2+(4m+1)+3m恒成立,求实数m的最大值.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(t)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+k(x+y)+3,k为常数,且f(1)=1,f(2)=17.
(1)若t为正整数,求f(t)的解析式(已知公式:
1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=
1
6
n(n+1)(2n+1);
(2)求满足f(t)=t的所有正整数t;
(3)若t为正整数,且t≥4时,f(t)≥mt
2
+(4m+1)+3m恒成立,求实数m的最大值.
试题解答
见解析
解:(1)令x=y=1,f(2)=f(1)+f(1)+12+2k+3?k=0,则f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3
对于x,y∈R都成立
令x=t(t∈N*),y=1f(t+1)=f(t)+f(1)+3t(t+3)+3?f(t+1)-f(t)=3t
2
+9t+4?f(2)-f(1)=3×1
2
+9×1+4f(3)-f(2)=3×2
2
+9×2+4
…f(t)=f(t-1)=3(t-1)
2
+9×(t-1)+4
用叠加法 f(t)-f(1)=3[1
2
+2
2
+…+(t-1)
2
]+9[1+2+…+(t-1)]+4+4?k…+4=3?
1
6
(t-1)?t?(2t-1)+9?
1
2
(t-1)?t+4(t-1)=t
3
+3t
2
-4
∴f(t)=t
3
+3t
2
-3(t≥2)又t=1适合上式f(t)=t
3
+3t
2
-3(t≥2)(t∈N*)
(2)若t∈N*,则t
3
+3t
2
-3=t?t
3
-t+3(t
2
+1)=0?(t-1)(t+1)(t+3)=0?t
1
=1,t
2
=-1,t
3
=-3(舍)
又令x=y=0f(0)=-3
令y=-x-3=f(x)+f(-x)+(-6x
2
)+3?f(x)+f(-x)=6x
2
-6对x∈R都成立
若t为负整数,则f(t)=6t
2
-6-f(-t)=6t
2
-6+t
3
-3t
2
+3=t
3
+3t
2
-3
由t
3
+3t
2
-3=t(t+3)(t+1)(t-1)?t
1
=-3,t
2
=-1,t
3
=1(舍)
若t=0,则f(t)═t无解 综上,满足f(t)=t,所有整数t为1,-1,-3;
(3)要使不等式恒成立,则只需m≤
t
3
+3t
2
-t-3
t
2
+4t+3
对t≥4,且t∈N*恒成立
即m≤
(t+3)(t+1)(t-1)
(t+3)(t+1)
=t-1对t≥4,且t∈N*恒成立
即且m≤(t-1)
min
=3
实数m最大值为3
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