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  • 已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[-1，1]时，方程f（x）=2x+m有解，求实数m的取值范围；（3）设g（t）=f（2t+a），t∈[-1，1]，求g（t）的最大值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
      （1）求f（x）的解析式；
      （2）当x∈[-1，1]时，方程f（x）=2x+m有解，求实数m的取值范围；
      （3）设g（t）=f（2t+a），t∈[-1，1]，求g（t）的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
      代入f（x+1）-f（x）=2x和f（0）=1，
      得
      {
      a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2x
      c=1
      ，化简得
      {
      2ax+a+b=2x(x∈R)
      c=1
      ；
      ∴a=1，b=-1，c=1，∴f（x）的解析式为f（x）=x      2-x+1；
      （2）当x∈[-1，1]时，方程f（x）=2x+m有解，
      即方程x      2-3x+1=m在x∈[-1，1]上有解；
      令g（x）=x      2-3x+1，x∈[-1，1]，则g（x）的值域是[-1，5]，
      所以，m的取值范围是[-1，5]；
      （3）∵g（t）=f（2t+a）=4t      2+（4a-2）t+a2-a+1，t∈[-1，1]；
      对称轴是x=
      1-2a
      4
      ，
      ∴①当
      1-2a
      4
      ≥0，即a≤
      1
      2
      时，
      g（t）      max=g（-1）=4-（4a-2）+a2-a+1=a2-5a+7；
      ②当
      1-2a
      4
      ＜0，即a＞
      1
      2
      时，
      g（t）      max=g（1）=4+（4a-2）+a2-a+1=a2+3a+3；
      综上所述，g（t）      max=
      {
      a2-5a+7 …a≤
      1
      2
      a2+3a+3 …a＞
      1
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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