函数f（x）满足：（1）定义域是（0，+∞）；（2）当x＞1时，f（x）＜2；（3）对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．回答下面的问题（1）求出f（1）的值；（2）写出一个满足上述条件的具体函数；（3）判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

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函数f（x）满足：（1）定义域是（0，+∞）；
（2）当x＞1时，f（x）＜2；
（3）对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
回答下面的问题
（1）求出f（1）的值；
（2）写出一个满足上述条件的具体函数；
（3）判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

试题解答

见解析

解：（1）由题意对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
令x=y=1，可得f（1）=2f（1）-2
∴f（1）=2
（2）f（x）=2+log_ax，其中a可以取（0，1）内的任意一个实数；
（3）f（x）在（0，+∞）单调递减
事实上，设0＜x₁＜x₂，则

x₂

x₁

＞1
由已知x＞1时，f（x）＜2可得，f(

x₂

x₁

)＜2
∴f(x₂)=f(

x₂

x₁

?x₁)=f(

x₂

x₁

)+f(x₁)-2＜2+f（x₁）-2=f（x₁）．
即f（x₂）＜f（x₁）
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减．

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