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  • 已知f（x）是定义在R上的增函数，对x∈R有f（x）＞0，且f（5）=1，设F（x）=f（x）+1f(x)，讨论F （x）的单调性，并证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）是定义在R上的增函数，对x∈R有f（x）＞0，且f（5）=1，设F（x）=f（x）+
      1
      f(x)
      ，讨论F （x）的单调性，并证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：在R上任取x1、x2，设x1＜x2，
      ∴f（x      2）＞f（x1），
      F(x      2)-F(x2)=[f(x2)+
      1
      f(x2)
      ]-[f(x1)+
      1
      f(x1)
      ]
      =[f(x      2) -f(x1) ][1-
      1
      f(x1) f(x2)
      ]
      ∵f（x）是R上的增函数，且f（5）=1，
      ∴当x＜5时0＜f（x）＜1，而当x＞5时f（x）＞1；
      ①若x      1＜x2＜5，则0＜f（x1）＜f（x2）＜1，
      ∴1-
      1
      f(x1) f(x2)
      ＜0，
      ∴F（x      2）＜F（x1）；
      ②若x      2＞x1＞5，则f（x2）＞f（x1）＞1，
      ∴f（x      1）f（x2）＞1
      ∴1-
      1
      f(x1)f(x2)
      ＞0
      ∴F（x      2）＞F（x1）
      综上，F（x）在（-∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数
      标签
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