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  • 已知函数y=f（x）对于任意正实数x，y有f（xy）=f（x）f（y），且x＞1时，f（x）＜1，f（2）=19（1）求证：f（x）＞0；（2）求证：y=f（x）在（0，+∞）为单调减函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=f（x）对于任意正实数x，y有f（xy）=f（x）f（y），且x＞1时，f（x）＜1，f（2）=
      1
      9

      （1）求证：f（x）＞0；
      （2）求证：y=f（x）在（0，+∞）为单调减函数．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：∵任意正实数x，y有f（xy）=f（x）f（y），
      ∴将x，y均换为
      √x
      ，有f（
      √x
      ?
      √x
      ）=f（
      √x
      ）f（
      √x
      ），
      即f（x）=f      2（
      √x
      ）≥0，但f（2）=
      1
      9
      ，
      ∴f（x）＞0；
      （2）证明：令0＜x      1＜x2，则
      x2
      x1
      ＞1，
      ∵x＞1时，f（x）＜1，
      ∴f（
      x2
      x1
      ）＜1，
      ∵任意正实数x，y有f（xy）=f（x）f（y），
      即f（x）=
      f(xy)
      f(y)
      ，
      ∴f（
      x2
      x1
      ）=
      f(x2)
      f(x1)
      ，
      ∴f（x      2）＜f（x1），
      ∴y=f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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