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  • 已知f(x)=axax+√a．（1）求f（x）+f（1-x）及f(110)+f(210)+…+f(910)=？（2）是否存在正整数a，使√af(n)f(1-n)＞n2对一切n∈N都成立．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f(x)=
      ax
      ax+
      √a
      ．
      （1）求f（x）+f（1-x）及f(
      1
      10
      )+f(
      2
      10
      )+…+f(
      9
      10
      )=？
      （2）是否存在正整数a，使
      √a
      f(n)
      f(1-n)
      ＞n2对一切n∈N都成立．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f(x)=
      ax
      ax+
      √a

      ∴f（x）+f（1-x）=
      ax
      ax+
      √a
      +
      a1-x
      a(1-x)+
      √a
      =1
      ∴2[f(
      1
      10
      )+f(
      2
      10
      )+…+f(
      9
      10
      )]=9
      ∴f(
      1
      10
      )+f(
      2
      10
      )+…+f(
      9
      10
      )=
      9
      2

      （2）由（1）得
      f（1-n）=1-f（n）=
      √a
      an+
      √a

      ∴
      √a
      f(n)
      f(1-n)
      =
      √a
      ?
      an
      an+
      √a
      √a
      an+
      √a
      =an
      则原不等式可化为：a      n＞n2
      ∵当a≥3时，a      n＞n2恒成立，
      故存在正整数a≥3，使
      √a
      f(n)
      f(1-n)
      ＞n2对一切n∈N都成立．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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