定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（x?y）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0．（Ⅰ）求f（-1）的值；（Ⅱ）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）当x≥0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x的取值集合．试题及答案-单选题-云返教育

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定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（x?y）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0．
（Ⅰ）求f（-1）的值；
（Ⅱ）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（Ⅲ）当x≥0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x的取值集合．

试题解答

见解析

解：（1）因为对任意x，y∈R恒有f（x?y）=f（x）+f（y），
令x=y=1，可得f（1）=F（1）+f（1），∴f（1）=0；
再令x=y=-1，可得f（1）=f（-1）+f（-1）=0，故有f（-1）=0．
（2）在f（x?y）=f（x）+f（y）中，令y=-1，可得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）+0=f（x），
再由函数的定义域为R，可得f（x）为偶函数．
（3）由于偶函数f（x）满足当x≥0时f（x）为增函数，可得函数f（x）在（-∞，0）上是减函数，
不等式f（x+1）-f（2-x）≤0，即 f（x+1）≤f（2-x），故此不等式等价于|x+1|≤|2-x|，解得 x≤

，
故不等式的解集为（-∞，

]．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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