已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=12x，求f（x）在[-1，3]的解析式；（3）在（2）的条件下．求使f（x）=-12在[0，2 011]上的所有x的个数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=

x，求f（x）在[-1，3]的解析式；
（3）在（2）的条件下．求使f（x）=-

在[0，2 011]上的所有x的个数．

见解析

解（1）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），…（2分）
∴f（x）是以4为一个周期的周期函数．…（4分）
（2）解当0≤x≤1时，f（x）=

x，
设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，∴f（-x）=

（-x）=-

x．
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-

x，即f（x）=

x．…（6分）
故f（x）=

x（-1≤x≤1）…（8分）
再设1＜x≤3，则-1＜x-2≤1，∴f（x-2）=

（x-2），
又∵f（x-2）=-f（x），∴-f（x）=

（x-2），可得f（x）=-

（x-2）（1＜x≤3）．
综上所述，f（x）在[-1，3]的解析式为：f（x）=

{

x (-1≤x≤1)

(x-2) (1＜x≤3)

…（10分）
（3）由f（x）=-

，当x∈[-1，3）时，解得x=-1．
∵f（x）是以4为周期的周期函数．
∴f（x）=-

的所有解为x=4n-1 （n∈Z）．…（12分）
令0≤4n-1≤2011，则

≤n≤503，
又∵n∈Z，∴1≤n≤503 （n∈Z），
∴在[0，2 011]上共有503个x使f（x）=-

．…（14分）

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